1. Menentukan Persamaan Garis Melalui Sebuah Titik dan Gradien
 |
Jika diketahui sebuah garis melalui sebuah titik A (x1, y1) dan gradien m maka dapat ditentukan persamaan garisnya sebagai berikut:
Misalkan garis itu mempunyai persamaan
Titik A (x1, y1) terletak pada garis itu, berarti
Jadi adalah rumus untuk menentukan persamaan garis melalui sebuah titik dengan koordinat (x1, y1) dan gradien m.
Contoh:
Tentukan persamaan garis yang melalui A (4, -3) dan gradien 2.
Penyelesaian:
Rumus persamaan garis melalui sebuah titik (x1, y1) dan gradien m adalah:
Jadi x1 = 4, y1 = -3 dan m = 2 sehingga persamaan garisnya:
2. Menentukan Persamaan Garis Melalui Dua Titik
|
Jika diketahui sebuah garis melalui dua buah titik misalnya A (x1, y1) dan B (x2, y2) dengan x1 ≠ x2 dan y1 ≠ y2 maka dapat ditentukan persamaan garis sebagai berikut
Misalkan garis itu mempunyai persamaan y = ax + b ..............................................(1)
Titik (x1, y1) pada garis itu, berarti y1 = ax1 + b....................................................(2)
Titik (x2, y2) pada garis itu, berarti y2 = ax2 + b ....................................................(3)
(1) – (2) menghasilkan y – y1 = a(x – x1)...............................................................(4)
(3) – (2) menghasilkan y2 – y1 = a(x – x1)………....…………………………..…...(5)
(4) : (5) menghasilkan
y – y1 x – x1
=
y2 – y1 x2 – x1
y1 – y2
dengan gradien
x1 – x2
adalah rumus untuk menentukan persamaan garis melalui dua titik dengan koordinat (x1, y1) dan (x2, y2).
Contoh :
Tentukan persamaan garis yang melalui dua buah titik A (-3, 4) dan B (5, -1)
Penyelesaian :
Rumus persamaan garis melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) adalah
y – y1 x – x1
=
y2 – y1 x2 – x1
Jadi x1 = -3, y1 = 4, x2 = 5 dan y2 = -1 sehingga:
persamaan garis melalui dua buah titik A (-3, 4) dan B (5, -1) adalah
y – 4 x – (-3)
=
-1 – (-4) 5 – (-3)
y – 4 x + 3
<==> =
-1 + 4 5 + 3
y – 4 x + 3
<==> =
3 8
<==> 3 ( x + 3 ) = 8 ( y – 4 )
<==> 3x + 9 = 8y – 32
<==> 3x – 8y = - 41 atau 3x – 8y + 41 = 0
atau dari 3x + 9 = 8y – 32
3x + 41
<==> 8y = 3x + 41 atau y =
8
3. Kemungkinan-kemungkinan persamaan garis:
a. Garis yang melalui titik asal O(0,0) dengan gradien m mempunyai persamaan y = mx
b. Garis yang melalui titik (0,c) di mana c suatu konstanta dengan gradien m mempunyai persamaan y = mx + c
c. garis yang melalui titik misalnya A(x1, y1) dengan gradient m mempunyai persamaan y - y1 = m (x - x1)
d. Garis yang melalui dua titik misalnya A(x1, y1) dan B(x2, y2)mempunyai persamaan
y – y1 x – x1
=
y2 – y1 x2 – x1
e. Garis yang memotong sumbu x di titik (a, 0) dan memotong sumbu y di titik (0, b) di mana a dan b konstanta mempunyai persamaan + = 1 disebut persamaan segmen garis.
f. Kemungkinan-kemungkinan lain dari persamaan garis:
(i) y = k, (k konstanta) adalah persamaan garis yang sejajar sumbu x
(ii) x = c, (c konstanta) adalah persamaan garis yang sejajar sumbu y
(iii) y = 0 adalah persamaan sumbu X
(iv) x = 0 adalah persamaan sumbu Y
4. Menentukan koordinat Titik Potong Dua Garis
Dari dua garis dengan persamaan-persamaan misalnya:
g : a1x + b1y + c1 = 0, a1, b1, c1 R
h : a2x + b2y + c2 = 0, a2, b2, c2 R
ada 3 kemungkinan kedudukan dua garis sebagai berikut:
a. Jika ≠ , maka garis g dan garis h berpotongan
b. Jika = ≠ , maka garis g dan garis h sejajar
c. Jika = = , maka garis g dan garis h berimpit
Jadi dua garis a1x + b1y + c1 = 0 dan a2x + b2y + c2 = 0 saling berpotongan apabila ≠ .
Untuk menentukan titik potong dua garis tersebut dapat dilakukan dengan tiga cara yaitu eliminasi, substitusi atau gabungan keduanya, yang sudah dibahas dalam topik Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV).
Contoh:
Selidiki apakah kedua garis g : 2x – y – 1 = 0 dan l : 4x – y – 5 = 0 saling berpotongan?
Jika ya, tentukan titik potongnya.
Penyelesaian:
g : 2x – y – 1 = 0 2x – y = 1
l : 4x – y – 5 = 0 4x – y = 5 –
-2x = 4
x = 2
Nilai x = 2 disubstitusikan ke persamaan garis l, diperoleh:
4 – y = 1 -y = 1 – 4
-y = -3
y = 3
Jadi titik potongnya adalah (2, 3).
5. Penggunaan Konsep Persamaan Garis dalam Kehidupan Sehari-hari
Penggunaan persamaan garis sering kita jumpai dalam bidang Fisika dan Ekonomi. Kita sering menggunakan sebuah grafik untuk menunjukkan hubungan antara dua variabel dalam kehidupan sehari-hari.
a. Contoh dalam bidang Fisika: grafik Jarak-Waktu, yaitu grafik yang menunjukkan hubungan antara jarak, waktu dan kecepatan yang berbentuk garis.
b. Contoh dalam bidang Ekonomi: Titik Impas (break-even point) adalah sebuah titik dalam suatu produk dengan pengeluaran total sama dengan penerimaan total. Hal ini terjadi ketika sebuah perusahaan tidak mendapatkan untung atau tidak menderita rugi. Penggunaan prinsip bisnis mengharuskan kita membentuk sebuah garis untuk menunjukkan total pengeluaran dan persamaan garis lainnya menunjukkan total penerimaan. Secara grafik, titik potong antara total pengeluaran dan total penerimaan menunjukkan Titik Impas (break-even point); Fungsi Permintaan dan Fungsi Penawaran; Program Linear.
